本文原創作者：水木長龍
如果說一個人能夠占盡“天時、地利、人和”三個條件，才算是在曆史舞台上完美地演出過自己的話，那麽，曆史舞台賦予每個人的演出資本並不平等，就像自從愛因斯坦的相對論問世後，我們知道時間對每個人來說並不公平一樣；就像隨著量子物理科學的發展，我們知道“眼見並不一定是真實的”一樣；就像我們知道宇稱並不守恒一樣；就像我們知道宇宙並非超對稱一樣（根據玻色弦理論，宇宙應有26維度，但在11維以上變得不再完美對稱）。
一個偉大的科學家總能被後人銘記，一個爲人類科學事業做出過偉大貢獻的偉大科學家，必然會被家喻戶曉，婦孺皆知，名播全球，績書罄竹。愛因斯坦，我們衆所周知，毋庸置疑，一定會被認爲就是如此的科學家。
不得不說，他的相對論的提出，爲人類打開了被封鎖了不知多少世紀的“靜態”呆板的宇宙時空大門，將人類帶入了一個全新多彩的“動態”宇宙時空。而直至今日，愛因斯坦仍被絕大多數世人公認爲是擁有人類最聰明大腦的科學家。
如此了不起的偉大科學家愛因斯坦，一定會被認爲是少有的能夠在曆史舞台上盡情舒展的人物之一，一定是占盡了天時（應時而生，相對論橫空出世），地利（世界環境格局造就時代英雄人物，曼哈頓計劃與質能方程），人和（愛因斯坦的偉大成就離不開慧眼識珠的偉大“伯樂”——普朗克，不然1905年不會被稱爲“愛因斯坦奇迹年”——共發表了四篇具有劃時代意義的論文，其中便有相對論和爲量子力學奠基的光子概念）。
其實，愛因斯坦在科學史上也有被人搶占功勞而無奈的小插曲，就像曆史上那些不得天時地利人和而發明專利總是被人搶先一步的無名科學家一樣。
比如，我們現在耳熟能詳的洛倫茲變換。大多數人認爲，洛倫茲變換一定是洛倫茲的，而實際上，現在我們了解到的洛倫茲變換公式，並不屬于洛倫茲的，而是愛因斯坦的，即
正變換：
x'＝(x－vt)／(1－v²／c²)½，
y'＝y，
z'＝z，
t'＝(t－vx／c²)／(1－v²／c²)½
逆變換：
x＝(x'＋vt')／(1－v²／c²)½，
y＝y'，
z＝z'，
t＝(t'＋vx'／c²)／(1－v²／c²)½
這是愛因斯坦1905年在發表的論文《論運動體的電動力學》中提出的變換。而洛倫茲在1904年所發表的論文《速度小于光速時運動系統的電磁現象》也提出過洛倫茲變換，但公式與現在我們所了解到的並不一樣，也就是說，與愛因斯坦的時空變換公式是不相同的，如下：
x'＝x／(1－v²／c²)½，
y'＝y，
z'＝z，
t'＝((1－v²／c²)t－v/c²x)／(1－v²／c²)½
一目了然，愛因斯坦的洛倫茲變換公式與洛倫茲的變換公式是不一樣的。爲什麽會不一樣呢？問題便出在“以太”上。
洛倫茲的變換公式是在以太存在的情況下推出來的，而愛因斯坦的洛倫茲變換公式卻是在以太不存在的情況下推導出來的。
或許會有人奇怪地問：既然是愛因斯坦推導出來的，爲什麽不叫愛因斯坦變換，而叫洛倫茲變換呢？
這跟愛因斯坦當時還不太出名有關，並且愛因斯坦剛剛提出相對論時，與科學史上那些剛剛提出科學新理論時，都難免被痛駁一番的科學家相比並沒什麽特殊例外，同樣受到很多人的反對和無視。
1906年，龐加萊在一篇有關電動力學的論文中，對洛倫茲1904年提出的洛倫茲變換公式進行了修正，修正後的洛倫茲變換與愛因斯坦1905年在論文中提出的一模一樣，但龐加萊並沒有將其命名爲“愛因斯坦變換”，而是正式命名爲了“洛倫茲變換”，並一直使用到現在。
這就是如此偉大的科學家愛因斯坦，也曾有被人搶奪功勞的小插曲，看來，所謂的“公平”也只是相對而言的，這與付出的辛勤汗水多少有關，不是嗎？記得有一句話：付出不一定有回報，但不付出一定沒有回報。勤奮總是沒錯的，經常愛動腦的人，腦子也會比常人轉動快一些，這是無可爭辯的，讓我們繼續我們的宇宙探索吧。探索科學，探索宇宙，水木長龍與您繼續我們的探索之旅。
很多人或許都不知道洛倫茲變換是怎麽推導出來的，不妨水木就將推導過程簡單寫出來吧（經常看“水木長龍”文章的人或許都知道，爲了大多數人都能看懂，水木文章很少出現數學公式，盡量用通俗易懂的語言去描述宇宙的奧妙，盡量做到愛因斯坦那句名言「凡事應當盡量簡單化，直到不能再簡單化爲止」。但數學知識，無論探索宇宙，還是研究科學，都是離不開的。今天，水木就破天荒一回，給喜歡數學的朋友帶來一些福利。）
（1）推導洛倫茲變換：
設S和S’爲做相對運動的兩慣性坐標系，S’系相對于S系以速度v沿X軸做勻速直線運動，t和t’分別是S系和S’系中的時間。示意圖如下：
首先，我們可以輕而易舉地得到
y’=y,
z’=z，
那麽x’與x之間的變換關系又如何呢？
兩坐標系是相對運動的，所以運動方向是相反的。當兩坐標系從坐標原點O和O’重合開始相對運動時，在S’系中觀察S系的坐標原點位移，則有
x’=-vt’，即x’+vt’=0；
而在S系中觀察S’系的坐標原點位移，則有
x=vt，即x-vt=0。
現在我們用空間任一事件點P來替換參照的O和O’坐標原點，設P在S系中的坐標爲（x,y,z），在S’系中的坐標爲（x’,y’,z’）。那麽事件P點從S’系到S系的坐標變換關系爲
x=K（x’+vt’），
y=y’，
z=z’
從S系到S’系的坐標變換關系爲
x’=K’（x-vt）,
y’=y，
z’=z
K和K’是一比例常數，根據相對性原理，必有
K’=K，
此處稱爲“洛倫茲因子”。
接下來我們需要用到光速不變原理來求出K。
設一光子在S與S’原點重合時從兩慣性系的重合原點O（O’）處沿X軸正向發出，那麽根據光速不變原理，在任一瞬間t(或t’)，光子到達兩坐標系的位移分別爲：
x=ct，
x’=ct’
將兩式相乘得
xx’=c²tt’
因爲光子此時就相當于P點事件，所以我們可以得到
xx’= K（x’+vt’）×K’（x-vt）=K²（xx’-x’vt+xvt’-v²tt’）
將x=ct，x’=ct’代入替換得
c²tt’= K²（c²tt’-ct’vt+ ctvt’-v²tt’）= K²tt’(c²-cv+ cv-v²)= K²tt’(c² -v²)
所以
K=c/(c² -v²）½=(1－（v/c）²)-½
x’=(x-vt)/(1－v²/c²)½，
x=(x'＋vt')／(1－v²/c²)½
進而可解得
t'＝(t－vx／c²)／(1－v²／c²)½
t＝(t'＋vx'／c²)／(1－v²／c²)½
即洛倫茲正變換爲：
x'＝(x－vt)／(1－v²／c²)½，
y'＝y，
z'＝z，
t'＝(t－vx／c²)／(1－v²／c²)½
洛倫茲逆變換爲：
x＝(x'＋vt')／(1－v²／c²)½，
y＝y'，
z＝z'，
t＝(t'＋vx'／c²)／(1－v²／c²)½
（證畢）
（2）證明x'²＋y'²＋z'²－c²t'²＝x²＋y²＋z²－c²t²
根據洛倫茲正變換，有
y'＝y，
z'＝z
所以想要推導x'²＋y'²＋z'²－c²t'²＝x²＋y²＋z²－c²t²，只要推出x'²－c²t'²＝x²－c²t²即可。
根據愛因斯坦的時空變換方程，也就是現在被我們熟悉的洛倫茲變換方程，有
x'=(x－vt)／(1－v²／c²)1/2，t'＝(t－vx／c²)／(1－v²／c²)½
=(x－vt)²／(1－v²／c²)－c²(t－vx／c²)² ／(1－v²／c²)
=c²(x－vt)²／(c²－v²)－(tc²－vx)²／(c²－v²)
=(c²(x²－2vtx＋v²t²)－(t²c⁴－2tc²vx＋v²x²))／(c²－ v²)
=(c²x²－2c²vtx＋c²v²t²－t²c⁴＋2tc²vx－v²x²)／(c²－ v²)
=(c²x²＋c²v²t²－t²c⁴－v²x²)／(c²－ v²)
=((c²－ v²)x²＋(v²－c²)c²t²)／(c²－ v²)
=((c²－ v²)x²－(c²－ v²)c²t²)／(c²－ v²)
=x²－c²t²
∵ y'＝y，z'＝z
∴ x'²＋y'²＋z'²－c²t'²＝x²＋y²＋z²－c²t²
（證畢）
（3）推導洛倫茲速度變換公式
公式推導前，不如先思考一個問題：
假如有一艘很長的巨型宇宙飛船正以光速的85%在太空中飛行，即v₁=0.85c，參照系爲某一顆恒星。巨型宇宙飛船上有一小型飛船正以光速的50%在巨型飛船內部飛行，即v2=0.5c。問：小型飛船相對于恒星的運動速度是多少呢?
如果根據我們一般性思維，按照經典的速度疊加公式計算的話，會以爲v=v₁+v2=1.35c，已經超越光速。但自從愛因斯坦的相對論問世以來，這樣的邏輯思維就要被推翻了，因爲相對論告訴我們光速是宇宙中最快速度，任何物體都不能超越光速。那麽，小型飛船相對于恒星的實際速度究竟是多少呢？
這裏我們不能再用伽利略變換的那種簡單速度疊加公式了，而是要用到洛倫茲的速度變換公式v＝(v₁＋v₂)/(1+v₁v₂/c²)。將兩飛船速度值代入後我們可以計算出小型飛船相對于恒星的飛速度是0.947c，並沒有超越光速。
那麽，洛倫茲速度變換公式又是怎麽推導出來的呢？這裏我們需要用到一些微積分學的基礎知識。
我們仍以（1）中的兩坐標系S和S’來推導。
根據求導定義可知
vₓ＝dx/dt＝(dx/dt')/(dt/dt')
而洛倫茲逆變換公式爲
x＝(x'＋vt')/(1-v²/c²)½，
t＝(t'＋vx'/c²)/(1-v²/c²)½
所以
dx/dt'＝(vₓ'＋v)/(1-v²/c²)½，
dt/dt'＝(1+vvₓ'/c²)/(1-v²/c²)½
所以
vₓ＝dx/dt＝(dx/dt')/(dt/dt')＝(vₓ'＋v)/(1+vvₓ'/c²)
以恒星爲S系，巨型宇宙飛船爲S'系 ，小型飛船爲事件P。v是S系與S'系的相對速度，也即公式中巨型宇宙飛船的速度v₁；vₓ是事件P在S系中x軸上的速度；vₓ'是事件P在S'系中x'軸上的速度，也即公式中小型飛船的v₂速度。
所以替換後即爲小型飛船相對于恒星的速度爲：v＝(v₁＋v₂)/(1+v₁v₂/c²)。（證畢）
當v₁，v₂速度遠遠小于光速時，v≈v₁＋v₂，這時也就變成了經典的速度疊加公式，即伽利略的速度變換公式。
【注：本篇文章是水木花了比較長的時間敲寫出來的，因爲是在word中完成的，不知道發出來是否會在格式上出現錯誤的地方，如果有，歡迎細心的朋友指出來。】
今天的分享就到這裏，感謝對水木的支持。
本篇文章「水木長龍」原創，轉載標明出處，謝謝！（2019/11/18）
