數學，作爲一門精確而優雅的科學，其魅力在于它能夠用簡單的公式和圖形描繪出世界的複雜性和規律性。在初中數學的學習旅程中，我們即將進入一個令人著迷的新領域——反比例函數。反比例函數，如同數學世界中的一顆璀璨明珠，以其獨特的性質和解題技巧，等待著我們去發掘和探索。

反比例函數是一種特殊的函數，其形式通常表示爲 y = k/x（其中 k 是常數，x 不等于零）。這種函數描述的是兩個變量之間的關系，其中一個變量的值是另一個變量的倒數的常數倍。

三種表達式方法：y = k/x或 xy＝k或y＝kx－1(k≠0)。

【注意】(1)k≠0；(2)自變量x≠0；(3)函數y≠0

圖像特點：反比例函數的圖像是一條經過原點的曲線，稱爲反比例函數曲線。這條曲線在第一和第三象限上，隨著 x 的增大，y 值逐漸減小。

對稱性：反比例函數曲線關于原點對稱，它既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

漸近線：反比例函數沒有漸近線，但隨著 x 接近零，y 的值會趨向無窮大或無窮小。

反比例函數的兩條對稱軸爲直線y = x和y=－x；對稱中心是原點。

在解決反比例函數相關的問題時，我們首先要熟悉其圖像特點。

對于給定的 x 值，我們可以直接代入反比例函數的表達式來計算對應的 y 值。需要注意的是，由于 x 不能爲零，我們在計算時應當避免 x = 0 的情況。

在解決實際問題時，我們通常需要根據反比例函數的性質來建立數學模型，然後利用函數表達式求解。

注意：實際問題中的兩個變量往往都只能取非負值。

實例一：已知點 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函數 y=6/x的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是 ( )

A. y3＜y1＜y2                          B. y1＜y2＜y3

C. y2＜y1＜y3                          D. y3＜y2＜y1

解析：方法①分別把各點代入反比例函數求出y1，y2，

y3的值，再比較出其大小即可。方法②：根據反比例函數的圖象和性質比較

實例二：病人按規定的劑量服用某種藥物，測得服藥後 2 小時，每毫升血液中的含藥量達到最大值爲 4 毫克. 已知服藥後，2 小時前每毫升血液中的含藥量 y(單位：毫克)與時間 x(單位：小時) 成正比例；2 小時後 y 與 x 成反比例 (如圖). 根據以上信息解答下列問題：

(1) 求當 0 ≤ x≤2 時，y 與 x 的函數解析式；

(2) 求當 x> 2 時，y 與 x 的函數解析式；

實例三：如圖，設反比例函數的解析式爲y=3k/x(k＞0)．

(1) 若該反比例函數與正比例函數 y=2x的圖象有一個交點 P的縱坐標爲 2，求 k的值；

總之，反比例函數是數學中一個重要而有趣的主題。通過對它的學習，我們不僅能夠掌握解決具體問題的技巧，還能夠深入理解數學中變量之間的複雜關系。在未來的學習旅程中，讓我們繼續探索反比例函數的奧秘，領略數學的無限魅力。